TakuLabo

(書きかけ)

圏を一階述語論理で公理化した場合、その理論の根源要素となるのは何度も繰り返すように「矢印」である。

つまり、余積の概念の導入の際にも同じことを強調したが、「具体集合」は圏の住人として標準で組み込まれていない。

ここで、集合論的 (或いはホモトピー型理論的) な圏の定義には、先行する集合 (0-型) の存在があるため、ホム集合を使用した流儀のものが好んで採用されるのだが、上記の理由もあり、ホム集合の所在がない初等的な圏の取り扱いを行う場面においてはそういったことができなかった。

前回、指数対象というものを

として導入した。

ここで、先行して適用する側の対象 \(A\) に自明な一般化要素のみを持つ終対象を指定してあげることによって、射 \(B\rightarrow C\) に相当する特別な種類 (ステージが終対象) の \(C^B\) の一般化要素 \(1\rightarrow C^B\) を得ることができる。

見方を変えると、「ホム集合 \(\hom(B,C)\) の要素 \(x\in\hom(B,C)\)」に相当するものを「指数対象 \(C^B\) のステージ1の一般化要素 \(x:1\rightarrow C^B\)」として考えることができるということである。

一見すると、この事実から \(C^B\) を「2対象間の射全体をちょうど要素に持つ対象」と解釈できそうだが、これについて数点注意しなければならないことがある。

天下り的に考えると、「集合の圏における指数対象 \(B^A\) が、集合 \(A,B\) 間の写像全体の集合として構成される」という事実があるため、\(B^A\) が「\(A,B\) 間を結ぶ射だけを "ちょうど" 要素に持つ対象」であると期待したくなる一方、これに関して1つの問題がある。

それは「圏論的な対象 \(X\) の要素」を考える際、一般に \(1\rightarrow X\) だけで完結せず、全ての一般化要素 \(L\rightarrow X\) を相手にしてあげなければならない。

これが何を意味するのかというと、「指数対象 \(B^A\) には、"少なくとも" \(A,B\) 間を結ぶ射として意味付けされる特別な種類の一般化要素が含まれている」ということまでは言えても、指数対象の構成要素としてその要素 \(1\rightarrow B^A\) だけを相手にするのでは不十分であることになる。

とはいえ、これに関して、

という心配は必要なく、そういった状況も、well-pointed という圏の1つのプロパティを持ち出すことによって純粋圏論的に記述することができる。

そもそも「対象の要素」とはなんなのかという話になるわけだが、これについては何らかの generator を持つ圏において厳密に考えることが可能である。

今求めている状況は、\(1\rightarrow B^A\) を \(B^A\) の "通常の意味" での要素として扱えることであるが、これは「終対象が generator」つまり「well-pointed」が条件として加わればよい。

(..)

ここで、その対象を特徴付ける終対象をステージにとる一般化要素はしばしば 大域要素 (global element) と呼ばれる。(因みにこのサイトでは大域要素のことを指して "要素" と呼ぶことにしている。)

物質的集合論の中では滅多に登場しない言葉ではあるかもしれないが、意外にもこの用語に関する Wikipedia 記事があったため以下にリンクを貼っておく。

(..)

well-pointed が条件として加われば、指数対象はまさに「2対象間の間の射全体からなる対象」という意味合いになる。

圏の中には、本来圏それ自体に組み込まれていない「ホム集合 \(\hom(A,B)\)」に近い概念を任意の対象 \(A,B\) に対して内部的に考えることが可能な圏が存在する。

その1つの設定として良く知られているものが、前置きでつらつらと話してきた指数対象に関するもので、「全ての指数対象が存在する圏」として与えられる カルテシアン閉圏 (cartesian closed category) (デカルト閉圏とも訳される) がそれに相当する。

[厳密な定義]

(..)

繰り返しになるが、well-pointed が入ってこないと、厳密な意味で指数対象をホム集合のようなものとして扱うことはできない。

という関係式が存在する。つまり任意の対象 \(X\) は、自然同形によってそれぞれ一つの指数対象 \(X^1\) と同一視することができ、ここでさらに well-pointed を仮定することで、

となるが、見ての通りうまい具合に状況が噛み合っていることがわかる。