雑記帳
自然性 - 共通する対象から自然に構成された2つの対象間の同型が「自然」であるとは
自然性は
「自然である」の一言が加わるだけで、かなり話が広が
典型的な例としては、hom 集合同士の間の同形の自然性が挙げられる。
ここまで圏論的な考え方にたくさん触れてきたことでわかってしまうかもしれないが、「集合間の同形」というのは結局のところ単に「濃度が同じであること」を云っているだけなので、それ自体に騒いで取り沙汰するようなうれしさはない。
とはいえ、その同形が「とある入力について自然である」という事実が加わった場合、それは「集合の濃度が同じである」以上の意味を持つことになる。
ここまで圏論的な考え方にたくさん触れてきたことでわかってしまうかもしれないが、「集合間の同形」というのは結局のところ単に「濃度が同じであること」を云っているだけなので、それ自体に騒いで取り沙汰するようなうれしさはない。
とはいえ、その同形が「とある入力について自然である」という事実が加わった場合、それは「集合の濃度が同じである」以上の意味を持つことになる。
「自然であること」のうれしさ
hom集合の間の同形の話でいえば、「完成形となる集合」の間の同形を調べるという処理の中で、その集合を構成するのに用いたはずの「ある数学的構造の対象」の話は入ってこない。
一方で、「自然である」という条件が加わると、「集合間の同形」は「その集合に至るまでのプロセスの間の同形」へと話が昇華する。ここで重要なのは「そのプロセスはその集合の構成に用いている、ある数学的構造の情報をしっかりと伴っている」という点である。
一つネタバレをしてしまうと、先ほども述べたように「自然同形をなすような集合間の同形」は、「集合の圏への関手の間の同形」へと話が移り変わるわけであるのだが、多くの場合「集合の圏への関手 \({\mathscr{C}}^{op}\rightarrow \mathbf{Set}\)」の中には「圏 \(\mathscr{C}\) の一つの対象」それ自体として振る舞うことができるものが存在する。(この事実の証明に、かの有名な「米田の補題」が登場する。)
つまり自然性を上手く使うことで、集合という具体的なモノを使って間接的に「抽象的な数学的構造の対象」を調べることが実現するのである。
圏論では「hom集合」が至る所で用いられている印象を受ける人も少なくないと思うが、それにはこういった背景があったのである。
(抽象的な構造の対象を直接取り扱うアプローチとはまた別に、便利で使い慣れた集合を介してその構造の対象を間接的に取り扱う手段があるわけなので、)
hom集合の間の同形の話でいえば、「完成形となる集合」の間の同形を調べるという処理の中で、その集合を構成するのに用いたはずの「ある数学的構造の対象」の話は入ってこない。
一方で、「自然である」という条件が加わると、「集合間の同形」は「その集合に至るまでのプロセスの間の同形」へと話が昇華する。ここで重要なのは「そのプロセスはその集合の構成に用いている、ある数学的構造の情報をしっかりと伴っている」という点である。
一つネタバレをしてしまうと、先ほども述べたように「自然同形をなすような集合間の同形」は、「集合の圏への関手の間の同形」へと話が移り変わるわけであるのだが、多くの場合「集合の圏への関手 \({\mathscr{C}}^{op}\rightarrow \mathbf{Set}\)」の中には「圏 \(\mathscr{C}\) の一つの対象」それ自体として振る舞うことができるものが存在する。(この事実の証明に、かの有名な「米田の補題」が登場する。)
つまり自然性を上手く使うことで、集合という具体的なモノを使って間接的に「抽象的な数学的構造の対象」を調べることが実現するのである。
圏論では「hom集合」が至る所で用いられている印象を受ける人も少なくないと思うが、それにはこういった背景があったのである。
(抽象的な構造の対象を直接取り扱うアプローチとはまた別に、便利で使い慣れた集合を介してその構造の対象を間接的に取り扱う手段があるわけなので、)
定義:
例:
【例1】
2つの集合間の同形
2つの集合間の同形
\[
(A\times B)\times C \cong A\times (B\times C)
\]
が \(A,B,C\) で自然であると云われた場合、
それは
・\((A\times B)\times C\) と \(A\times (B\times C)\) が集合の圏 \(\mathbf{Set}\) の対象である。
・組 \(\langle \langle A, B \rangle, C \rangle\) それぞれと対応付けられる対象の組 \(\langle \langle Z_A, Z_B \rangle, Z_C \rangle\) を持つようなある圏 \((\mathscr{D}_1 \times \mathscr{D}_2)\times \mathscr{D}_3\) が想定される。(その圏を \(\mathscr{D}\) と置く。)
・対象 \(\langle \langle Z_{A'}, Z_{B'} \rangle, Z_{C'} \rangle\) について「その対象から集合 \((A'\times B')\times C'\) を構成する関手 \(F_1:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Set}\)」 と 「その対象から集合 \(A'\times (B'\times C')\) を構成する関手 \(F_2:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Set}\)」が共に存在する。(この場合は、例えば圏 \(\mathscr{D}\) に \((\mathbf{Set} \times \mathbf{Set})\times \mathbf{Set}\) を選択すると、上手く自然同形を組むことができる。)
・それら2つの関手の間に自然変換が存在し、かつそれが同形である。
・組 \(\langle \langle A, B \rangle, C \rangle\) それぞれと対応付けられる対象の組 \(\langle \langle Z_A, Z_B \rangle, Z_C \rangle\) を持つようなある圏 \((\mathscr{D}_1 \times \mathscr{D}_2)\times \mathscr{D}_3\) が想定される。(その圏を \(\mathscr{D}\) と置く。)
・対象 \(\langle \langle Z_{A'}, Z_{B'} \rangle, Z_{C'} \rangle\) について「その対象から集合 \((A'\times B')\times C'\) を構成する関手 \(F_1:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Set}\)」 と 「その対象から集合 \(A'\times (B'\times C')\) を構成する関手 \(F_2:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Set}\)」が共に存在する。(この場合は、例えば圏 \(\mathscr{D}\) に \((\mathbf{Set} \times \mathbf{Set})\times \mathbf{Set}\) を選択すると、上手く自然同形を組むことができる。)
・それら2つの関手の間に自然変換が存在し、かつそれが同形である。
といった意味合いである。
【例2】
2つの集合間の同形
2つの集合間の同形
\[
\hom_{\mathscr{C}}(X,A)\times \hom_{\mathscr{C}}(X,B) \cong \hom_{\mathscr{C}}(X,A\times B)
\]
が \(X\) で自然であると云われた場合、
それは
・\(\hom_{\mathscr{C}}(X,A)\times \hom_{\mathscr{C}}(X,B)\) と \(\hom_{\mathscr{C}}(X,A\times B)\) が集合の圏 \(\mathbf{Set}\) の対象である。
・\(X\) と対応付けられる対象 \(Z_X\) を持つようなある圏 \(\mathscr{D}_1\) が想定される。(その圏を \(\mathscr{D}\) と置く。)
・対象 \(Z_{X'}\) について「その対象から集合 \(\hom_{\mathscr{C}}(X',A)\times \hom_{\mathscr{C}}(X',B)\) を構成する関手 \(F_1:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Set}\)」 と 「その対象から集合 \(\hom_{\mathscr{C}}(X',A\times B)\) を構成する関手 \(F_2:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Set}\)」が共に存在する。(この場合は、例えば圏 \(\mathscr{D}\) に \({\mathscr{C}}^{op}\) を選択すると、上手く自然同形を組むことができる。)
・それら2つの関手の間に自然変換が存在し、かつそれが同形である。
・\(X\) と対応付けられる対象 \(Z_X\) を持つようなある圏 \(\mathscr{D}_1\) が想定される。(その圏を \(\mathscr{D}\) と置く。)
・対象 \(Z_{X'}\) について「その対象から集合 \(\hom_{\mathscr{C}}(X',A)\times \hom_{\mathscr{C}}(X',B)\) を構成する関手 \(F_1:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Set}\)」 と 「その対象から集合 \(\hom_{\mathscr{C}}(X',A\times B)\) を構成する関手 \(F_2:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Set}\)」が共に存在する。(この場合は、例えば圏 \(\mathscr{D}\) に \({\mathscr{C}}^{op}\) を選択すると、上手く自然同形を組むことができる。)
・それら2つの関手の間に自然変換が存在し、かつそれが同形である。
といった意味合いである。
(冒頭に「集合間の同形」と宣言していることで、暗黙的にどの自然同形のことを指しているのかは大方絞り込むことができる。とはいえ、圏 \(\mathscr{D}\) が何であるかをしっかりと明示していない以上、どうしても曖昧さが入り込んでくるため、曖昧さを完全に取り除きたい場合は、「関手の構成先となる圏の対象の間の同形から自然同形を推測させる」のではなく、しっかりと「先行して自然同形を明示する」といったアプローチをとる方がよいだろう。)
【例3】
2つの集合間の同形
2つの集合間の同形
\[
\hom_{\mathbf{Grp}}(T(X),G) \cong \hom_{\mathbf{Set}}(X,U(G))
\]
が \(X,G\) で自然であると云われた場合、
それは
・\(\hom_{\mathbf{Grp}}(T(X),G)\) と \(\hom_{\mathbf{Set}}(X,U(G))\) が集合の圏 \(\mathbf{Set}\) の対象である。
・組 \(\langle X, G \rangle\) それぞれと対応付けられる対象の組 \(\langle Z_X, Z_G \rangle\) を持つようなある圏 \(\mathscr{D}_1 \times \mathscr{D}_2\) が想定される。(その圏を \(\mathscr{D}\) と置く。)
・対象 \(\langle Z_{X'}, Z_{G'} \rangle\) について「その対象から集合 \(\hom_{\mathbf{Grp}}(T(X'),G')\) を構成する関手 \(F_1:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Set}\)」 と 「その対象から集合 \(\hom_{\mathbf{Set}}(X',U(G'))\) を構成する関手 \(F_2:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Set}\)」が共に存在する。(この場合は、例えば圏 \(\mathscr{D}\) に \(\mathbf{Set}^{op} \times \mathbf{Grp}\) を選択すると、上手く自然同形を組むことができる場合がある。)
・それら2つの関手の間に自然変換が存在し、かつそれが同形である。
・組 \(\langle X, G \rangle\) それぞれと対応付けられる対象の組 \(\langle Z_X, Z_G \rangle\) を持つようなある圏 \(\mathscr{D}_1 \times \mathscr{D}_2\) が想定される。(その圏を \(\mathscr{D}\) と置く。)
・対象 \(\langle Z_{X'}, Z_{G'} \rangle\) について「その対象から集合 \(\hom_{\mathbf{Grp}}(T(X'),G')\) を構成する関手 \(F_1:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Set}\)」 と 「その対象から集合 \(\hom_{\mathbf{Set}}(X',U(G'))\) を構成する関手 \(F_2:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Set}\)」が共に存在する。(この場合は、例えば圏 \(\mathscr{D}\) に \(\mathbf{Set}^{op} \times \mathbf{Grp}\) を選択すると、上手く自然同形を組むことができる場合がある。)
・それら2つの関手の間に自然変換が存在し、かつそれが同形である。
といった意味合いである。
\[
\begin{align}
F_1 &= (T^{op}\times \mathbf{Grp}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Hom}_{\mathbf{Grp}} \\
F_2 &= (\mathbf{Set}^{op} \times U) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Hom}_{\mathbf{Set}} \\
\end{align}
\]
【例4】
2つの (体K上の) 有限次元線形空間の間の同形
2つの (体K上の) 有限次元線形空間の間の同形
\[
V \cong V^{**}
\]
が \(V\) で自然であると云われた場合、
それは
・\(V\) と \(V^{**}\) が体K上の有限次元線形空間の圏 \(\mathbf{FinVect}_K\) の対象である。
・\(V\) と対応付けられる対象 \(Z_V\) を持つようなある圏 \(\mathscr{D}_1\) が想定される。(その圏を \(\mathscr{D}\) と置く。)
・対象 \(Z_{V'}\) について「その対象から有限次元線形空間 \(V'\) を構成する関手 \(F_1:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{FinVect}_K\)」 と 「その対象から有限次元線形空間 \((V')^{**}\) を構成する関手 \(F_2:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{FinVect}_K\)」が共に存在する。(この場合は、例えば圏 \(\mathscr{D}\) に \(\mathbf{FinVect}_K\) を選択すると、上手く自然同形を組むことができる。)
・それら2つの関手の間に自然変換が存在し、かつそれが同形である。
・\(V\) と対応付けられる対象 \(Z_V\) を持つようなある圏 \(\mathscr{D}_1\) が想定される。(その圏を \(\mathscr{D}\) と置く。)
・対象 \(Z_{V'}\) について「その対象から有限次元線形空間 \(V'\) を構成する関手 \(F_1:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{FinVect}_K\)」 と 「その対象から有限次元線形空間 \((V')^{**}\) を構成する関手 \(F_2:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{FinVect}_K\)」が共に存在する。(この場合は、例えば圏 \(\mathscr{D}\) に \(\mathbf{FinVect}_K\) を選択すると、上手く自然同形を組むことができる。)
・それら2つの関手の間に自然変換が存在し、かつそれが同形である。
といった意味合いである。
(単なる双対との同形は、一般的な「有限次元線形空間の圏」の上では自然同形を組めないが、有限次元線形空間に対して、空間と自身の双対空間を関連付けるような付加構造を備えさせた圏の上では自然同形が上手く組みあがることもある。)
【例5】
2つの (体K上の) 線形空間の間の同形
2つの (体K上の) 線形空間の間の同形
\[
V \cong V_{*}
\]
が \(V\) で自然であると云われた場合、
それは
・\(V\) と \(V_{*}\) が体K上の線形空間の圏 \(\mathbf{Vect}_K\) の対象である。
・\(V\) と対応付けられる対象 \(Z_V\) を持つようなある圏 \(\mathscr{D}_1\) が想定される。(その圏を \(\mathscr{D}\) と置く。)
・対象 \(Z_{V'}\) について「その対象から線形空間 \(V'\) を構成する関手 \(F_1:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Vect}_K\)」 と 「その対象から線形空間 \((V')_{*}\) を構成する関手 \(F_2:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Vect}_K\)」が共に存在する。(この場合は、例えば圏 \(\mathscr{D}\) に \(\mathbf{Vect}_K\) を選択すると、上手く自然同形を組むことができる。)
・それら2つの関手の間に自然変換が存在し、かつそれが同形である。
・\(V\) と対応付けられる対象 \(Z_V\) を持つようなある圏 \(\mathscr{D}_1\) が想定される。(その圏を \(\mathscr{D}\) と置く。)
・対象 \(Z_{V'}\) について「その対象から線形空間 \(V'\) を構成する関手 \(F_1:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Vect}_K\)」 と 「その対象から線形空間 \((V')_{*}\) を構成する関手 \(F_2:\mathscr{D}\rightarrow \mathbf{Vect}_K\)」が共に存在する。(この場合は、例えば圏 \(\mathscr{D}\) に \(\mathbf{Vect}_K\) を選択すると、上手く自然同形を組むことができる。)
・それら2つの関手の間に自然変換が存在し、かつそれが同形である。
といった意味合いである。
\(Z_V\) から \(V_{*}:=V^K\) を構成する関手は、\(V\) それ自体の存在する線形空間の圏からの関手となり、自明な構成 (恒等関手) と平行になる。
\(Z_V\) から \(V^{*}:=K^V\) を構成する関手は、反対圏からの関手となり、\(V^{*}:=K^V\) を構成するために用いる対象 \(Z_V\) 周りには通常それに対応する対象である \(V\) とは異なる一般化要素のネットワークが張られている。
\(Z_V\) から \(V^{*}:=K^V\) を構成する関手は、反対圏からの関手となり、\(V^{*}:=K^V\) を構成するために用いる対象 \(Z_V\) 周りには通常それに対応する対象である \(V\) とは異なる一般化要素のネットワークが張られている。
(関手というのは、「対象を特徴付けている射たちを、大本の圏が持っていた射の合成のされ方を崩壊させることなく、別の圏に」)
「圏内の全て対象のあらゆる一般化要素を、合成のされ方を崩壊させることなく別の圏に移植する手続き」
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