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を満たすような射 $q$ が圏 $\mathcal{C}$ に存在することをいう。

が真であるとき、$f$ が圏 $\mathcal{C}$ で同形であるということになる。

またこの時、そのような射 $q$ のことを「$f$ のインヴァース (inverse)」 (または逆射) と呼ぶ。
わかりやすく言い換えれば、射 $f$ のインヴァースが圏 $\mathcal{C}$ に存在するとき、$f$ が圏 $\mathcal{C}$ で同形ということになる。

また同形射 (isic arrow) は、iso または isomorphism とも書かれる。

さらに圏 $\mathcal{C}$ が同形射 $f:X\to Y$ を持つとき、対象 $X,Y$ は圏 $\mathcal{C}$ で同形 (isomorphic) であるといい、 $X\cong Y$ と表す。

(周囲圏を任意の圏 $\mathcal{C}$ とする。)

$f$ を同形射、$q_1,q_2$ を $f$ の任意のインヴァースとする。

よって全てのインヴァースは射として等しいことが従う。

このように存在すれば一意的に定まる射 $f$ のインヴァースは $f^{-1}$ と書かれる。

(周囲圏を任意の圏 $\mathcal{C}$ とする。)

が成り立つ。

が得られ、$q$ が $f$ のレトラクションでもあることがわかる。

よって、$q$ は $f$ のセクションでもありレトラクションでもあるインヴァース、即ち $f$ が同形射であることが従う。

分裂エピックと分裂モニックが圏論的双対でペア付けられていることからわかるように、同形の双対概念は同じく「同形」となる。

定義を見てわかる通り、エピックかつモニックであるような射が同形射であることは一般に従わない。
とはいえ、後々圏を使って数学的構造を具体的に調べていくと気付くが、対象の間のモルフィズムの中に「エピックかつモニックでありながら同形でない」という性質を持つものは珍しく、多くの数学的構造の対象間のモルフィズムは「エピックかつモニックであれば同形」であるケースが多い。加えて全ての射について漏れなくそのような性質が成立する圏を成す数学的構造というのも少なくない。

そういった理由によるものかは定かではないが、そのような性質を満たす圏には特別な名前が付けられていて、均衡圏 (balanced category) と呼ばれる。
(※ balanced category の日本語訳がわからなかったため、均衡圏と直訳したが、非公式な日本語訳である。)

現段階で具体的な例を挙げることは難しいが、選択公理を満たす圏、つまり「任意のエピックが分裂エピックである圏」は、先ほど示した「モニックかつ分裂エピックであれば同形」という一般的抽象的ナンセンスより、均衡圏となる。