雑記帳
亜群・モノイド・群
目次
亜群 (groupoid)
定義
圏に存在する任意の射が同形であるという性質を持った圏を亜群と呼ぶ。
(...)
補足
亜群の概念は非常に重要
モノイド (monoid)
定義
圏の任意の対象が互いに同形である圏をモノイドと呼ぶ。
\[
\forall A \forall B[(A:A\rightarrow A \wedge B:B\rightarrow B) \Rightarrow \exists f[f:A\rightarrow B] \wedge {\rm isIsic}(f)]
\]
(...)
余談
「圏の対象の個数」に言及することは好まれる行為ではないという理由から、敢えて「単対象」という言葉を用いないことにした。この辺りの話はホモトピー型理論的な圏の取り扱いを説明する際に掘り下げていく。
群 (group)
定義
圏の任意の対象が互いに同形である亜群を群と呼ぶ。
(...)
余談
一階の言語上で圏の一般論を考えている現段階ではあまりうれしさが見えてこないかもしれないが、このようにしてモノイドや群を捉えることで、それらモノイドや群が圏と同じ土俵に乗り、それによって「モノイドから一般の圏への関手」や「群から一般の圏への関手」といったことを考える事が可能になる。例えば、群の作用をこの視点から捉えることによって、非常に本質的で見通しの良い定式化を行うことができる。
とはいえこのシリーズの最初でも簡単に触れたように、このようなモノイドは「モノイダル 0-圏の delooping」として理解される。そもそも圏論的には、モノイドは「任意のモノイダル圏の上のモノイド対象」というように一般的に定義される (モナドの一種として定義することなども可能である) のだが、ここで「モノイダル 0-圏」をこの一般的なモノイドの定義に当てはめて考えると、「集合の圏のカルテシアンモノイダル圏」として得られるモノイダル圏の上のモノイド対象という扱いになる。つまり、このモノイドは、「一般的に与えられるモノイドの概念の一例」に過ぎないことがわかる。
何が言いたいのかといえば、このようにして定義されるモノイドや群だけを "絶対的な" モノイドや群の定義として捉えることはあまり適切でない。
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