TakuLabo

「圏 \(\mathscr{C}\) の中の全ての射について、エピックであるならば分裂エピックであることが従う」という性質を満たす時、その圏は「選択公理 (axiom of choice) を満たす」と言う。

を満たしているということである。

「圏の性質」を謳っておきながら「公理」と名付けられていることについて補足しておくと、それは従来の公理的集合論でしばしば取り入れられる同名の公理を、圏論の言葉を使って翻訳したものであるためであることが考えられる。

ちなみに後々登場することになるが、圏を使った「集合の概念の公理化」を行う際にも、従来と同様、この圏論の言葉に翻訳した選択公理が公理の一つとして加えられることがあり、実際 (界隈では) 有名な公理的集合論の一つである ETCS は選択公理を公理の一つとして取り入れている。
そしてその時また触れるが、

というように、選択公理がトポスの内部論理に与える影響を圏論的に理解するのもまた面白い。

このように、選択公理は本来は

であったわけであるが、圏の言葉に書き換えたことによって

というように捉えることができる形になってしまった。

例えば非常にどうでもいいことだが、区間圏は「エピックでありながら分裂エピックでない射を持つ」ということから、選択公理を満たさないことが直ちに証明される。