雑記帳
特別な名前を持った自己準同形 【冪等 (idempotent) / 対合 (involution)】
目次
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冪等 (idempotent)
定義
自己準同形 \(f:X\rightarrow X\) が 冪等 (idempotent) であるとは
\[
f {\sf \, ⨟ \,} f = f
\]
例
様々な圏論的な概念を学んだあとに、「冪等である射ってどんなものがあったっけ？」といった際の参考用として幾つかの例のリストを載せておく。
(未だそういった圏論的な概念たちに触れてない段階ではこの節は無視してほしい。)
(未だそういった圏論的な概念たちに触れてない段階ではこの節は無視してほしい。)
恒等射
\[
X:X \rightarrow X
\]
定値射
\[
(! {\sf \, ⨟ \,} x):X \rightarrow X
\]
第一成分に持つデータの第二成分への上書き
\[
({\rm prj}_1 {\sf \, ⨟ \,} \Delta):X\times X \rightarrow X\times X
\]
対合 (involution)
定義
自己準同形 \(f:X\rightarrow X\) が 対合 (involution) であるとは
\[
f {\sf \, ⨟ \,} f = X
\]
例
(冪等のセクションで既に述べたように、圏論的な概念たちに触れてない段階ではこの節は無視してほしい。)
恒等射
\[
X:X \rightarrow X
\]
入力のスワップ
\[
{\rm tw}:X\times X \rightarrow X\times X
\]
(整数の正負の入れ替え \({\mathbb{Z}} \rightarrow {\mathbb{Z}}\) も上の射から引き起こされる)
入力のスワップの双対
\[
{\rm coTw}:X+X \rightarrow X+X
\]
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