TakuLabo

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圏 $\mathcal{C}$ が有限積を持つとは、

の2つを満たすことをいう。

(周囲圏を有限積を持つ任意の圏 $\mathcal{C}$ とする。)

$A$ を任意の対象とすると、有限積の存在を認める周囲圏を考えていることから、終対象 $1$ の存在と、対象 $A$ と終対象 $1$ との積対象 $A\times 1$ の存在が従う。
ここで積対象の定義より、その対象 $A\times 1$ は射影 ${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{j}}_{1,A\times 1}:A\times 1\to A$, ${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{j}}_{2,A\times 1}:A\times 1\to 1$ の存在を付随するが、さらに終対象の定義から、その第二射影 ${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{j}}_{2,A\times 1}$ は $A\times 1$ から $1$ の間を結ぶ一意的な射 ${!}_{A\times 1,1}$ を意味する。

このことを踏まえると、$⟨A,{!}_{A,1}⟩$ が 第一射影 ${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{j}}_{1,A\times 1}$ のインヴァースであることが以下のようにして直ちに示される。

積の定義より明らか

を満たす $h$ の一つとして、恒等射 $A\times 1:A\times 1\to A\times 1$ が必ず存在するが、同時に積の公理からそのような条件を満たす射 $h$ の一意性 (=$⟨{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{j}}_{1,A\times 1},{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{j}}_{2,A\times 1}⟩$) が保証されている。

が成り立つ。