雑記帳
有限余積を持つ圏・有限積を持つ圏
有限余積を持つ圏 (category with finite coproducts)
定義
(..)
有限積を持つ圏 (category with finite products)
定義
圏 \(\mathscr{C}\) が有限積を持つとは、
- 終対象を持つ
- 全ての積を持つ (任意の2つの対象同士の積対象が存在する)
の2つを満たすことをいう。
余談
一階述語論理の上で公理的に圏を取り扱うという都合により、このような定義となっているが、ホモトピー型理論のような関手や自然変換の概念が取り扱える基礎の上では、より洗練された「有限積」の定義が可能となる。
一般的抽象的ナンセンス
終対象との積は同形な対象を定める
(周囲圏を有限積を持つ任意の圏 \(\mathscr{C}\) とする。)
\(A\) を任意の対象とすると、有限積の存在を認める周囲圏を考えていることから、終対象 \(1\) の存在と、対象 \(A\) と終対象 \(1\) との積対象 \(A\times 1\) の存在が従う。
ここで積対象の定義より、その対象 \(A\times 1\) は射影 \({\rm prj}_{1,A\times 1}:A\times 1 \rightarrow A\), \({\rm prj}_{2,A\times 1}:A\times 1 \rightarrow 1\) の存在を付随するが、さらに終対象の定義から、その第二射影 \({\rm prj}_{2,A\times 1}\) は \(A\times 1\) から \(1\) の間を結ぶ一意的な射 \(!_{A\times 1,1}\) を意味する。
ここで積対象の定義より、その対象 \(A\times 1\) は射影 \({\rm prj}_{1,A\times 1}:A\times 1 \rightarrow A\), \({\rm prj}_{2,A\times 1}:A\times 1 \rightarrow 1\) の存在を付随するが、さらに終対象の定義から、その第二射影 \({\rm prj}_{2,A\times 1}\) は \(A\times 1\) から \(1\) の間を結ぶ一意的な射 \(!_{A\times 1,1}\) を意味する。
このことを踏まえると、\(\langle A,!_{A,1} \rangle\) が 第一射影 \({\rm prj}_{1,A\times 1}\) のインヴァースであることが以下のようにして直ちに示される。
- \(\langle A,!_{A,1} \rangle {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_{1,A\times 1} = A\)
積の定義より明らか
- \({\rm prj}_{1,A\times 1} {\sf \, ⨟ \,} \langle A,!_{A,1} \rangle = A\times 1\)
\[
\begin{align}
{\rm prj}_{1,A\times 1} {\sf \, ⨟ \,} \langle A,!_{A,1} \rangle &= \langle {\rm prj}_{1,A\times 1} {\sf \, ⨟ \,} A, {\rm prj}_{1,A\times 1} {\sf \, ⨟ \,} !_{A,1} \rangle \\
&= \langle {\rm prj}_{1,A\times 1} {\sf \, ⨟ \,} A, {\rm prj}_{1,A\times 1} {\sf \, ⨟ \,} !_{A,1} \rangle \\
&= \langle {\rm prj}_{1,A\times 1}, !_{A\times 1,1} \rangle \\
\end{align}
\]
冒頭に述べたように、終対象の定義から \(!_{A\times 1,1}\) は第二射影 \({\rm prj}_{2,A\times 1}\) を意味しているので
\[
\begin{align}
&= \langle {\rm prj}_{1,A\times 1}, !_{A\times 1,1} \rangle \\
&= \langle {\rm prj}_{1,A\times 1}, {\rm prj}_{2,A\times 1} \rangle \\
\end{align}
\]
ここで圏の公理より
\[
(h {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_{1,A\times 1} = {\rm prj}_{1,A\times 1}) \wedge (h {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_{2,A\times 1} = {\rm prj}_{2,A\times 1})
\]
を満たす \(h\) の一つとして、恒等射 \(A\times 1:A\times 1 \rightarrow A\times 1\) が必ず存在するが、同時に積の公理からそのような条件を満たす射 \(h\) の一意性 (=\(\langle {\rm prj}_{1,A\times 1}, {\rm prj}_{2,A\times 1} \rangle\)) が保証されている。
つまり最後の射 \(\langle {\rm prj}_{1,A\times 1}, {\rm prj}_{2,A\times 1} \rangle\) は恒等射 \(A\times 1\) に限られる。
\[
\begin{align}
&= \langle {\rm prj}_{1,A\times 1}, {\rm prj}_{2,A\times 1} \rangle \\
&= A\times 1 \\
\end{align}
\]
よって
\[
A \cong A\times 1
\]
が成り立つ。
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