雑記帳
同値関係から商対象を構成する
商対象の構成
導入
圏論的には、「対象 \(X\) の商対象」とは
- \(X\) をドメインに持つエピック射 \(q\) を付加構造として持つ対象 \(Q\)
という (同形を除いて一意に定まる) 構造 \(\langle Q, q \rangle\) であったわけだが、特定の性質を持つ圏においては、こういった構造を導く "一般的な手続き" が存在する。
既に集合論をある程度学んでいる人ならイメージできると思うが、例えば
- 集合を同値関係で割って得られる商集合の構成
もその一つである。
加えて、実はその「同値関係で割る」という商対象の構成というのも、既に説明した余極限の一種である「コイコライザ」の特別なケースになっている。
このページでは、そういった点に着目しながら具体的な商対象の構成方法についてまとめてみる。
「同値関係による商」がどのようにコイコライザとして俯瞰されるのか
同値関係による商がどのようにコイコライザとして俯瞰されるのかを、周囲圏として「well-pointed トポス」を想定しながら、具体例を追って確認していく。
本質的でない部分で不要な混乱を招いてしまうことを避けるためにも、比較的単純な例として「整数対象 (integers object) のベースとなる商集合 \(\langle {\mathbb{Z}}, q \rangle\)」の構成を考えてみる。
構成の流れ
まず以下で定まる関係は同値関係になる。
\[
(n_1,m_1) \sim (n_2,m_2) :\Leftrightarrow n_1 + m_2 = m_1 + n_2
\]
とはいえ、この定義式だけでは射 \(({\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}})\times({\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}}) \rightarrow \Omega\) の具体的な形が見えづらい。
\[
\begin{align}
(n_1,m_1) \sim (n_2,m_2) &\Leftrightarrow n_1 + m_2 = m_1 + n_2 \\
x_1 \sim x_2 &\Leftrightarrow (x_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1) + (x_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_2) = (x_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_2) + (x_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1) \\
\langle x_1,x_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} (\sim) &\Leftrightarrow \langle x_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1, x_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} (+) = \langle x_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_2, x_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1 \rangle {\sf \, ⨟ \,} (+) \\
\langle x_1,x_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} (\sim) &\Leftrightarrow \langle \langle x_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1, x_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} (+), \langle x_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_2, x_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1 \rangle {\sf \, ⨟ \,} (+) \rangle {\sf \, ⨟ \,} \delta \\
\langle x_1,x_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} (\sim) &\Leftrightarrow \langle \langle x_1,x_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} \langle {\rm prj}_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1, {\rm prj}_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} (+), \langle x_1,x_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} \langle {\rm prj}_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_2, {\rm prj}_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1 \rangle {\sf \, ⨟ \,} (+) \rangle {\sf \, ⨟ \,} \delta \\
\langle x_1,x_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} (\sim) &\Leftrightarrow \langle x_1,x_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} \langle \langle {\rm prj}_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1, {\rm prj}_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} (+), \langle {\rm prj}_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_2, {\rm prj}_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1 \rangle {\sf \, ⨟ \,} (+) \rangle {\sf \, ⨟ \,} \delta \\
\end{align}
\]
よって上の関係を与える射 \((\sim):({\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}})\times({\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}}) \rightarrow \Omega\) は
\[
(\sim) := \langle \langle {\rm prj}_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1, {\rm prj}_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} (+), \langle {\rm prj}_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_2, {\rm prj}_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1 \rangle {\sf \, ⨟ \,} (+) \rangle {\sf \, ⨟ \,} \delta
\]
この射が得られれば、商対象の構成に必要になる2つの平行な射を構成するのは単純である。
まず、上の射に沿って部分対象分類子 \({\rm true}:1\rightarrow \Omega\) を引き戻すことで、
\[
\{ ((n_1,m_1),(n_2,m_2)) \in ({\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}})\times({\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}}) \,\vert\, n_1 + m_2 = m_1 + n_2 \}
\]
に相当する部分対象
\[
\langle R , (\sim)^{-1}({\rm true}):R\rightarrow ({\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}})\times({\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}}) \rangle
\]
が得られる。この部分対象は意味を考えればわかるように、「商写像の核対」に相当する部分対象であるので、以下のように出力となる対をばらしたそれぞれ一般化要素を与える射が、商対象の構成に必要になる2つの射になる。
\[
\begin{align}
f := (\sim)^{-1}({\rm true}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1 \\
g := (\sim)^{-1}({\rm true}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_2 \\
\end{align}
\]
これらの射が定めるコイコライザをとると、商対象 \(\langle Q, {\rm Coeq}(f,g):({\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}}) \rightarrow Q \rangle\) が得られるが、この対象 \(Q\) は以下のようにして整数対象を成す。
構成した商対象から整数対象としての構造を導く
まずそもそも「整数対象」とはなんだという人も多いと思うが、それは
ある特定の条件を満たすような3つの射
・\({\rm zero}: 1\rightarrow {\mathbb{Z}}\)
・\({\rm succ}: {\mathbb{Z}}\rightarrow {\mathbb{Z}}\)
・\({\rm neg}: {\mathbb{Z}}\rightarrow {\mathbb{Z}}\)
・\({\rm succ}: {\mathbb{Z}}\rightarrow {\mathbb{Z}}\)
・\({\rm neg}: {\mathbb{Z}}\rightarrow {\mathbb{Z}}\)
を付随する対象 \({\mathbb{Z}}\) である。
詳しい定義は以下のページを参考にしてほしい。
- integers object (nLab 記事)
ではまずは \({\rm succ}: {\mathbb{Z}}\rightarrow {\mathbb{Z}}\) を構成する。
well-pointed を仮定しているため、大域要素の入出力から射の特徴付けが可能である。
ということで \(z:1\rightarrow R\) を \(R\) の大域要素とし、\(f {\sf \, ⨟ \,} ({\rm succ} \times {\mathbb{N}})\) に \(z\) を入力して得られる出力を調べる。
\[
\begin{align}
z{\sf \, ⨟ \,} (f {\sf \, ⨟ \,} ({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g)) &= z{\sf \, ⨟ \,} (((\sim)^{-1}({\rm true}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1) {\sf \, ⨟ \,} ({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g)) \\
&= z{\sf \, ⨟ \,} (\sim)^{-1}({\rm true}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1 {\sf \, ⨟ \,} ({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g) \\
&= (z{\sf \, ⨟ \,} (\sim)^{-1}({\rm true})) {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1 {\sf \, ⨟ \,} ({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g) \\
\end{align}
\]
まず引き戻しの普遍性より、\((z{\sf \, ⨟ \,} (\sim)^{-1}({\rm true}))\) として得られる \(({\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}})\times({\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}})\) の大域要素というのは
\[
\langle \langle n_1,m_1 \rangle, \langle n_2,m_2 \rangle \rangle {\sf \, ⨟ \,} (\sim) = ! {\sf \, ⨟ \,} {\rm true}
\]
という関係式を満たすような
\[
\langle \langle n_1,m_1 \rangle, \langle n_2,m_2 \rangle \rangle: 1\rightarrow ({\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}})\times({\mathbb{N}}\times {\mathbb{N}})
\]
つまり、
\[
\begin{align}
z{\sf \, ⨟ \,} (f {\sf \, ⨟ \,} ({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g)) &= z{\sf \, ⨟ \,} (((\sim)^{-1}({\rm true}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1) {\sf \, ⨟ \,} ({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g)) \\
&= z{\sf \, ⨟ \,} (\sim)^{-1}({\rm true}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1 {\sf \, ⨟ \,} ({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g) \\
&= (z{\sf \, ⨟ \,} (\sim)^{-1}({\rm true})) {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1 {\sf \, ⨟ \,} ({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g) \\
&= (\langle \langle n_1,m_1 \rangle, \langle n_2,m_2 \rangle \rangle) {\sf \, ⨟ \,} {\rm prj}_1 {\sf \, ⨟ \,} ({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g) \\
&= \langle n_1,m_1 \rangle {\sf \, ⨟ \,} ({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g) \\
&= \langle n_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm succ},m_1 \rangle {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g) \\
\end{align}
\]
同様に
\[
\begin{align}
z{\sf \, ⨟ \,} (g {\sf \, ⨟ \,} ({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g)) &= \langle n_2,m_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} ({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g) \\
&= \langle n_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm succ},m_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g) \\
\end{align}
\]
それら2つの出力の対が、\((z{\sf \, ⨟ \,} (\sim)^{-1}({\rm true}))\) の出力として得られるのかは、
\[
\langle \langle n_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm succ},m_1 \rangle,\langle n_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm succ},m_2 \rangle \rangle {\sf \, ⨟ \,} (\sim)
\]
が、\({\rm true}\) になること
\[
\begin{align}
&\langle \langle n_1 {\sf \, ⨟ \,} {\rm succ},m_1 \rangle,\langle n_2 {\sf \, ⨟ \,} {\rm succ},m_2 \rangle \rangle {\sf \, ⨟ \,} (\sim) \\
=& (n_1 + m_2 + 1, m_1 + n_2 + 1){\sf \, ⨟ \,} \delta \\
=& ((n_1 + m_2){\sf \, ⨟ \,} {\rm succ}, (m_1 + n_2){\sf \, ⨟ \,} {\rm succ}){\sf \, ⨟ \,} \delta \\
\end{align}
\]
最初の仮定から、\(\langle n_1 + m_2, m_1 + n_2 \rangle {\sf \, ⨟ \,} \delta\) は \({\rm true}\) になるので、上の式も同様に \({\rm true}\) を出力する。
つまり、
\[
z{\sf \, ⨟ \,} (f {\sf \, ⨟ \,} (({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g))) = z{\sf \, ⨟ \,} (g {\sf \, ⨟ \,} (({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g)))
\]
が任意の大域要素 \(z\) に対して成り立つ。
ここで、well-pointed であるという仮定より、上の言明から
\[
f {\sf \, ⨟ \,} (({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g)) = g {\sf \, ⨟ \,} (({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g))
\]
であることが従う。
よってコイコライザの普遍性より、射 \((({\rm succ} \times {\mathbb{N}}) {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g))\) は商写像と一意に factor-through される射 \({\mathbb{Z}}\rightarrow {\mathbb{Z}}\) を引き起こす。
この射が整数対象を成すために必要な構造の一つ \({\rm succ}:{\mathbb{Z}}\rightarrow {\mathbb{Z}}\) である。
同様の流れで、\((\langle {\rm prj}_2,{\rm prj}_1 \rangle {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g))\) も商写像と一意に factor-through される射 \({\mathbb{Z}}\rightarrow {\mathbb{Z}}\) を引き起こすことを示す事ができて、その射が整数対象を成すために必要なもう一つの射 \({\rm neg}:{\mathbb{Z}}\rightarrow {\mathbb{Z}}\) となる。
ちなみに \({\rm zero}:1\rightarrow Z\) は商写像を使って \({\rm zero} {\sf \, ⨟ \,} \Delta {\sf \, ⨟ \,} {\rm Coeq}(f,g)\) というように直接構成できる。
(これらが整数対象を成すことは各自で確認してほしい)
「同値関係による商」をコイコライザとして俯瞰することのメリット
このように考えるメリットの一つとして、「(同値関係で割って得られる) 商集合の普遍性」つまり
- どういった場合に、特定の射を引き起こすのか
がわかりやすくなるという点が挙げられる。
コイコライザとしての見方をしない場合、「(同値関係で割って得られる) 商集合の普遍性」というのは「同値関係の細かさ」という観点から記述することになる。
しかしこの方法だと、例えば「商集合と商線形空間」を比較してみるとわかるが、それらの間の「射が引き起こされるのかどうかを与える条件」にばらつきが生じてしまう。
その一方で、コイコライザとして見ることで、いずれの場合も「特定の2つの平行な射をコイコライズできる」という一貫したものになる。
余談
「well-defined であることの確認」が、間接的には「コイコライザの普遍性」を調べていたことを補足しておく。
「商写像 \(q\) の核対」は「同一視する要素のペア」からなり、もしある射 \(k\) について、「その核対が、その商写像の核対を一部として含む (その核対の持つモニック射が、商写像の核対の持つモニック射で factor-through される)」ならば、それは「商写像により同一視したい出力の組み合わせを \(k\) の核対が漏れなく全て網羅している」ということなので、間接的に「商写像を定める2つの射 \(f,g\) について、\(f{\sf \, ⨟ \,} k=g{\sf \, ⨟ \,} k\) である」ということを意味する。
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