雑記帳
金属の棒の温度分布の時間発展を求める問題 [1-3]
一端に印が付けられた長さ30[cm]の細長い真っ直ぐの金属棒をバーナーで恣意的に熱した後、直ちに金属棒の側面を断熱材でくるみ、さらに両端に十分に大きい氷のブロックを密着させる。
ここで、その印付けられた一端から \(x\)[cm] 先に進んだ位置における時間 \(t\) [sec] 後の温度 \(u(x,t)\) [℃] の時間変化が次の熱伝導方程式
ここで、その印付けられた一端から \(x\)[cm] 先に進んだ位置における時間 \(t\) [sec] 後の温度 \(u(x,t)\) [℃] の時間変化が次の熱伝導方程式
\[
\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) = 2\frac{\partial^2 u}{{\partial x}^2}(x,t)
\]
にかなりの精度で従うことの確認が事前にしっかりと取れているとする。
また、時間発展を追う過程で氷が全て溶け切ることはなく、さらにその氷との接触面の温度は時間によらず常に 0[℃] で維持され続けると考えてよいものとする。
また、時間発展を追う過程で氷が全て溶け切ることはなく、さらにその氷との接触面の温度は時間によらず常に 0[℃] で維持され続けると考えてよいものとする。
もし断熱材でくるまれる直前に撮られたサーモグラフィ画像から、金属棒の初期温度分布が、おおよそ次で定義されるような「印付けられた一端から距離 \(x\) [cm] 進んだ先の温度分布 \(T_0(x)\) [℃]」
\[
T_0(x) = 5\sin(4\pi x) - 3\sin(8\pi x)
\]
であることがわかったとした時、その瞬間から5秒後の金属棒の (15 [cm] 先の) 中心部分の温度が何度であったのかを摂氏スケールで概算せよ。
解答例
<未だ作ってない>
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