雑記帳
ゼロ対象とゼロ射
ゼロ対象 (zero object)
定義
(..)
ゼロ射 (zero arrow)
定義
ゼロ対象の定義より \(Z\) をゼロ対象としたとき、対象 \(A,B\) が与えられると、\(A\) からゼロ対象への一意的な射 \(!_{A,Z}\) とゼロ対象から \(B\) への一意的な射 \(!_{Z,B}\) の合成射としてある \(A\) から \(B\) への射 \((!_{A,Z} {\sf \, ⨟ \,} !_{Z,B}):A\rightarrow B\) が得られる。
一般的抽象的ナンセンス
ゼロ射は経由するゼロ対象に依らない
(周囲圏をゼロ対象を持つ任意の圏 \(\mathscr{C}\) とする。)
ゼロ対象 \(Z\) を経由して得られる \(A,B\) 間を結ぶゼロ射を \(0_{Z,A,B}\) と書くことにする。
\(Z_i, Z_j\) をそれぞれゼロ対象としたとき、
\[
\begin{align}
0_{Z_i,A,B} &= !_{A,Z_i} {\sf \, ⨟ \,} !_{Z_i,B} \\
&= !_{A,Z_i} {\sf \, ⨟ \,} (!_{Z_i,Z_j} {\sf \, ⨟ \,} !_{Z_j,Z_i}) {\sf \, ⨟ \,} !_{Z_i,B} \\
&= (!_{A,Z_i} {\sf \, ⨟ \,} !_{Z_i,Z_j}) {\sf \, ⨟ \,} (!_{Z_j,Z_i} {\sf \, ⨟ \,} !_{Z_i,B}) \\
&= !_{A,Z_j} {\sf \, ⨟ \,} !_{Z_j,B} \\
&= 0_{Z_j,A,B} \\
\end{align}
\]
この一意的な射を以後 \(0_{A,B}\) と表す。
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