TakuLabo

集合論の観点では、コイコライザにより得られる対象の要素はしばしば「同値類」として構成されることになるため、ちょうど積対象の要素を順序対と呼ぶように、このようにコイコライザにより構成される対象の要素を同値類と呼ぶ事も多い。

同一視される出力の間の関係が持つ性質を抽象すると「同値関係」と呼ばれる形に纏められる。
ここで、トポスと呼ばれる特別な種類の圏においては「同値関係であるという性質を満たすような関係を定める論理式 \(X\times X\rightarrow\Omega\)」から、類別に用いる平行な2つの射 \(R\rightarrow X\) を一般に構成することができるため、かなり複雑なルールによる同一視が実現する。(詳細については、トポスの概念の導入が済んだ後にまた改めて説明する。コイコライザはどういった場面で必要になるのかがイメージしづらいかもしれないが、身近な例を挙げれば例えば整数対象や有理数対象を構成する際に用いられる。)

因みに位相空間の圏はトポスではないため、そのような論理式を出発点とする商対象の構成は通常できない。事実、商位相空間は集合の世界でコイコライザをとって得られる商集合に位相を与えるといったステップを経て得るのが普通である。とはいえそうして得られる対象は「位相空間の圏内でコイコライザの普遍性を満たす実装の一つ」であり、そうやって「位相空間の圏に全てのコイコライザが存在すること」を一度明らかにさえしてしまえば、トポスの力を借りるのは「点の複雑な類別に使用する射の構成まで」にとどめ、その後その構成された2つの平行な射を位相空間の圏に持ちこむ (ドメインに離散位相を持つような位相空間をとる連続写像は、その射で結ばれている位相空間のそれぞれの基底集合間の写像と直結している) ことで、その先のコイコライザによる商対象の構成を位相空間の世界の中だけで完結させるというような、より本質的な捉え方もできる。

(ここでは「Propositional resizing 公理」を認めるホモトピー型理論を採用するため集合の圏はトポスになるが、その公理を認めない場合、集合の圏はトポスにすらならない。とはいえホモトピー型理論自体がその2つの射の構成に必要になる「論理式を介した集合の構成」をサポートしているので、たとえその公理を認めなかったとしても、集合の圏の力を借りることで点の複雑な類別に必要となる2つの平行な射の構成は依然として可能である。)