球面の方程式

雑記帳

球面の方程式

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前置き

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球面の方程式 (ベクトル方程式 ver.)

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前置き

ここで言う「球面」とは「2次元球面」のことを指している。

(..)

球面の方程式 (ベクトル方程式 ver.)

(書きかけ)

方程式

大本となる方程式

$r$ : 球面の半径
$c$ : 球の中心位置

としたとき球面上の任意の点

x

が満たすべき方程式は以下のように表される。

‖ x - c ‖ = r

中心位置を原点に固定して得られる方程式

先ほどの式について、中心位置

c

を原点に固定した上で成分に関する式に持っていくと、応用しづらくはなってしまうが

x^{2} + y^{2} + z^{2} - r^{2} = 0

という式が得られる。

余談

非自明な項を全て左辺に纏めているのは、トーラスの記事との統一性を持たせたかっただけで、特に深い意味はない。

方程式の導出

大本となる方程式

球面の方程式は至ってシンプルで、

球の中心位置 $c$ から球面上の点 $x$ を結ぶ変位ベクトル $(x - c)$ の大きさが $r$ である。

という条件を単に数式化しただけのものである。

中心位置を原点に固定して得られる方程式

まず

x = (x, y, z)

とした上で、中心位置

c

を次の形に制限する。

\begin{aligned} c & = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] \end{aligned}

以上を踏まえて球面の方程式を展開していくと、

\begin{aligned} ‖ x - c ‖ & = r \\ ‖ x - c ‖^{2} & = r^{2} \\ {(\sqrt{(x - c) \cdot (x - c)})}^{2} & = r^{2} \\ (x - c) \cdot (x - c) & = r^{2} \\ ((x, y, z) - (0, 0, 0)) \cdot ((x, y, z) - (0, 0, 0)) & = r^{2} \\ (x, y, z) \cdot (x, y, z) & = r^{2} \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} & = r^{2} \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - r^{2} & = 0 \end{aligned}

つまり

x^{2} + y^{2} + z^{2} - r^{2} = 0

が得られた。

応用

直線との交点を求める

点

x_{0}

を通る

a

方向に伸びる直線

l (t) = x_{0} + a t

を球面の方程式内の

x

に代入することで、その直線が球面上の点と交差する時の実数

t

を求める方程式を得ることができる。

具体的には

\begin{aligned} ‖ x - c ‖ & = r \\ ‖ x - c ‖^{2} & = r^{2} \\ ‖ (x_{0} + a t) - c ‖^{2} & = r^{2} \\ ‖ (x_{0} - c) + a t ‖^{2} & = r^{2} \\ ((x_{0} - c) + a t) \cdot ((x_{0} - c) + a t) & = r^{2} \\ ‖ x_{0} - c ‖^{2} + 2 t (x_{0} - c) \cdot a + ‖ a ‖^{2} t^{2} & = r^{2} \\ ‖ a ‖^{2} t^{2} + {2 (x_{0} - c) \cdot a} t + {‖ x_{0} - c ‖^{2} - r^{2}} & = 0 \end{aligned}

つまり「球面と直線の交点」は、以下の「

t

に関する2次方程式」を解くことによって間接的に求めることができる。

\begin{aligned} 0 = & ‖ a ‖^{2} t^{2} \\ + {2 (x_{0} - c) \cdot a} t \\ + ‖ x_{0} - c ‖^{2} - r^{2} \end{aligned}

球面の方程式 (媒介変数表示 ver.)

上の図を見てもらえれば半径

r

の球面上の点

x

は、2つのベクトル

v_{1}, v_{2}

の和

\begin{aligned} x & = v_{1} + v_{2} \\ = r \cos θ_{2} [\begin{array}{c} \cos θ_{1} \\ \sin θ_{1} \\ 0 \end{array}] + r \sin θ_{2} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} r \cos θ_{2} \cos θ_{1} \\ r \cos θ_{2} \sin θ_{1} \\ r \sin θ_{2} \end{array}] \end{aligned}

即ち

x (θ) = [\begin{matrix} r \cos θ_{2} \cos θ_{1} \\ r \cos θ_{2} \sin θ_{1} \\ r \sin θ_{2} \end{matrix}]

という媒介変数

θ

を用いた式で表すことができる。

(..)

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