雑記帳
金属管の温度分布を求める問題 [3-4]
ある金属管があり、その金属管の断面はちょうど、「厚さ10[mm], 穴の直径40[mm]の金属リング」の形になっている。
その金属管のある地点に刺繡糸を巻きつけ、ちょうど一周巻きつく長さで切る。その切られた糸を一度取り外し、その切った糸の長さの全体に対して「4分の1」「4分の2」「4分の3」となる点にそれぞれペンを使って印を付けた後、再び同じように管に巻きつけ糸の先端と末端が離れないようにセロテープで簡単に留める。
その金属管のある地点に刺繡糸を巻きつけ、ちょうど一周巻きつく長さで切る。その切られた糸を一度取り外し、その切った糸の長さの全体に対して「4分の1」「4分の2」「4分の3」となる点にそれぞれペンを使って印を付けた後、再び同じように管に巻きつけ糸の先端と末端が離れないようにセロテープで簡単に留める。
ここで、その糸が巻き付けられた地点で管をスライスするような仮想的な平面と金属管内側の面とが交差する円全体で定義される温度分布 \(T_{in}(\boldsymbol{x})\) [℃]と、同様に金属管外側の面と交差のする円全体で定義される温度分布 \(T_{out}(\boldsymbol{x})\) [℃] がそれぞれ次で与えられるとき、そのスライスした断面の金属部となる円環全体で定義される温度分布 \(T(\boldsymbol{x})\) を求めよ。
\[
\begin{align}
T_{in}(\boldsymbol{x}) &= 15 \frac{(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{c})}{\lVert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{c} \rVert \cdot \lVert \boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{c} \rVert} \\
T_{out}(\boldsymbol{x}) &= 30 \frac{(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{c})}{\lVert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{c} \rVert \cdot \lVert \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{c} \rVert} \\
\end{align}
\]
但し
・\(\boldsymbol{x}_0\) はセロテープで簡易的に留めてある金属管に巻きつけられた刺繍糸の先端と末端の接合部の位置
・\(\boldsymbol{x}_n\) (\(n=1,2,3\)) は金属管に巻きつけられた刺繍糸に付けた「4分の\(n\)」地点の印がある位置。
・\(\boldsymbol{c}\) は 「\(\boldsymbol{x}_0\) と \(\boldsymbol{x}_2\) を通る直線」と「\(\boldsymbol{x}_1\) と \(\boldsymbol{x}_3\) を通る直線」との交点。
・\(\boldsymbol{x}_0\) はセロテープで簡易的に留めてある金属管に巻きつけられた刺繍糸の先端と末端の接合部の位置
・\(\boldsymbol{x}_n\) (\(n=1,2,3\)) は金属管に巻きつけられた刺繍糸に付けた「4分の\(n\)」地点の印がある位置。
・\(\boldsymbol{c}\) は 「\(\boldsymbol{x}_0\) と \(\boldsymbol{x}_2\) を通る直線」と「\(\boldsymbol{x}_1\) と \(\boldsymbol{x}_3\) を通る直線」との交点。
この時金属部の温度分布 \(T(\boldsymbol{x})\) に時間発展が無く、それは次の Laplace 方程式が満たされるような温度分布に既に収束済みであると仮定してよい。
\[
(\nabla^2 T)(\boldsymbol{x}) = 0
\]
解答例
<未だ作ってない>
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